Dérivée d'un produit

Propriété

Soit  `f`  une fonction définie sur un intervalle  `I` de `\mathbb R` de la forme  `f=uv`  où  `u`  et  `v`  sont deux fonctions dérivables sur  `I` . 
Alors  `f`  est dérivable sur  `I`  et pour tout   `x\inI` ,  `f'(x)=u'(x)\timesv(x)+u(x)\timesv'(x)` .

Démonstration

Soit  `f=uv`   et  `a\inI` .
Pour tout réel  `h\ne0`  tel que  
`(a+h)\inI` , on a : 

\(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}{h}=\dfrac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}=\dfrac{\color{blue}{u(a+h)v(a+h)}}{h}-\dfrac{\color{green}{u(a)v(a)}}{h}\)

`` En insérant le terme `-\frac{\color{red}{u(a)v(a+h)}}{h}+\frac{\color{red}{u(a)v(a+h)}}{h}=0` , on obtient : 

\(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{\color{blue}{u(a+h)v(a+h)}}{h}-\dfrac{\color{red}{u(a)v(a+h)}}{h}+\dfrac{\color{red}{u(a)v(a+h)}}{h}-\dfrac{\color{green}{u(a)v(a)}}{h}\)

Regroupons les termes différemment, c'est-à-dire factorisons  les deux premiers termes par \(\color\purple{v(a+h)}\) et les deux autres par \(\color\purple{u(a)}\)  :

\(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{\color{blue}{u(a+h)}\color{purple}{v(a+h)}}{h}-\dfrac{\color{red}{u(a)}\color{purple}{v(a+h)}}{h}+\dfrac{\color{purple}{u(a)}\color{red}{v(a+h)}}{h}-\dfrac{\color{purple}{u(a)}\color{red}{v(a)}}{h}\)

\(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{\color{blue}{u(a+h)}-\color{red}{u(a)}}{h}\times \color{purple}{v(a+h)}{+ \color{purple}{u(a)} \times \dfrac{\color{red}{v(a+h)-v(a)}}{h}}\)  

Or,  `u`  et  `v`  étant dérivables en  `a` , on a :  \(\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)\)  et  \(\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}=v'(a)\) , de plus,  \(\lim\limits_{h \rightarrow 0} v(a+h)=v(a)\) .

Ainsi,   \(\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=u'(a)\times v(a)+u(a)\times v'(a)\) . 

La fonction  `f=uv`  est donc dérivable pour tout  `a\in I`  et  \(f'(a)=u'(a)\times v(a)+u(a)\times v'(a)\) .